【双曲线标准公式】在解析几何中，双曲线是一种重要的圆锥曲线，其定义为平面上到两个定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。双曲线的标准方程是研究双曲线性质的基础，根据双曲线的开口方向不同，可分为横轴双曲线和纵轴双曲线两种类型。
为了便于理解与应用，以下对双曲线的标准公式进行总结，并以表格形式清晰展示其基本特征。
双曲线标准公式总结
| 类型 | 标准方程 | 焦点坐标 | 顶点坐标 | 实轴长度 | 虚轴长度 | 渐近线方程 | 离心率 e |
| 横轴双曲线 | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $(\pm c, 0)$ | $(\pm a, 0)$ | $2a$ | $2b$ | $y = \pm \frac{b}{a}x$ | $e > 1$ |
| 纵轴双曲线 | $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ | $(0, \pm c)$ | $(0, \pm a)$ | $2a$ | $2b$ | $y = \pm \frac{a}{b}x$ | $e > 1$ |
公式说明
- 横轴双曲线：双曲线的实轴位于 x 轴上，开口方向为左右方向。其焦点在 x 轴上，距离原点为 $c$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$。
- 纵轴双曲线：双曲线的实轴位于 y 轴上，开口方向为上下方向。其焦点在 y 轴上，距离原点为 $c$，同样满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
- 渐近线：双曲线的渐近线是两条直线，它们决定了双曲线的“趋势”。对于横轴双曲线，渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$；对于纵轴双曲线，渐近线斜率为 $\pm \frac{a}{b}$。
- 离心率：双曲线的离心率 $e = \frac{c}{a}$，且 $e > 1$，表示双曲线比椭圆更加“张开”。
通过以上表格和文字说明，可以系统地掌握双曲线的标准公式及其相关性质。这些公式不仅在数学学习中具有重要意义，在物理、工程等领域也有广泛应用。
