【复数的运算公式】复数是数学中一种重要的数系，广泛应用于物理、工程、信号处理等领域。复数由实部和虚部组成，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。在实际应用中，复数的运算包括加法、减法、乘法、除法以及共轭等基本操作。以下是对这些运算公式的总结。
一、复数的基本运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开并合并同类项 |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | 通过有理化分母进行计算 |
| 共轭 | $ \overline{a + bi} = a - bi $ | 虚部符号取反 |
二、复数的模与幅角
复数的模（绝对值）表示复数在复平面上到原点的距离，记作 $
$$
$$
复数的幅角（角度）是指从实轴到复数向量之间的夹角，记作 $ \theta $，计算公式为：
$$
\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
$$
需要注意的是，幅角的取值范围根据象限不同而变化，通常取 $ (-\pi, \pi] $ 或 $ [0, 2\pi) $。
三、极坐标形式下的运算
复数还可以用极坐标形式表示为：
$$
r(\cos\theta + i\sin\theta)
$$
其中 $ r =
- 乘法：若 $ z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) $，$ z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) $，则：
$$
z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)
$$
- 除法：若 $ z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) $，$ z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) $，则：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)
$$
四、总结
复数的运算虽然形式上与实数类似，但引入了虚数单位 $ i $，使得运算结果可能包含虚部。掌握复数的加减乘除、共轭、模与幅角等基本概念和公式，有助于在更复杂的数学问题中灵活运用复数工具。
通过对复数运算的系统梳理，可以提高对复数的理解和应用能力，为后续学习复变函数、电路分析、量子力学等内容打下坚实基础。
