【知道顶点和经过的一个点怎么求二次函数的表达式?】在学习二次函数的过程中，我们常常会遇到这样的问题：已知抛物线的顶点坐标以及它经过的另一个点，如何求出这个二次函数的表达式？这是一个常见的应用题型，掌握其解法对于理解二次函数的图像性质和解析式之间的关系非常有帮助。
一、知识点总结
| 知识点 | 内容说明 |
| 二次函数的一般形式 | $ y = ax^2 + bx + c $（标准式） |
| 顶点式 | $ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ (h, k) $ 是顶点坐标 |
| 已知条件 | 顶点 $ (h, k) $ 和一个经过的点 $ (x_1, y_1) $ |
| 解题思路 | 使用顶点式代入已知顶点和点，求出 $ a $ 的值，最终得到完整的表达式 |
二、解题步骤
1. 确定顶点坐标
设顶点为 $ (h, k) $，则二次函数的顶点式为：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
2. 代入已知点
将经过的点 $ (x_1, y_1) $ 代入上式，得到一个关于 $ a $ 的方程。
3. 解方程求 $ a $
通过代数运算，解出 $ a $ 的值。
4. 写出完整表达式
将 $ a $ 的值代入顶点式，即可得到该二次函数的表达式。
三、示例解析
题目： 已知抛物线的顶点为 $ (2, 5) $，且经过点 $ (3, 8) $，求该二次函数的表达式。
解题过程：
1. 顶点式为：
$$
y = a(x - 2)^2 + 5
$$
2. 代入点 $ (3, 8) $：
$$
8 = a(3 - 2)^2 + 5
$$
3. 解方程：
$$
8 = a(1)^2 + 5 \Rightarrow 8 = a + 5 \Rightarrow a = 3
$$
4. 代入 $ a = 3 $ 得到表达式：
$$
y = 3(x - 2)^2 + 5
$$
最终答案：
$$
y = 3(x - 2)^2 + 5
$$
四、小结
当已知抛物线的顶点和一个经过的点时，使用顶点式是最快捷的方式。只要正确代入已知数据并求解参数 $ a $，就能轻松得到二次函数的表达式。这种方法不仅适用于考试题型，也常用于实际问题中对抛物线形状的建模分析。
